数学メモ - ふれっしゅのーと

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数学メモ

その他のつぶやき

高校時代に「滅多に数学では使わないだろ」と思っていた接続詞「ところで」「さて」「しかし」などは、大学数学では普通に使う。
隙さえあれば、数学の証明問題で、
「しからば」「とどのつまり」「いよいよ」「にもかかわらず」「あたかも」とかも使おうと目論んでます。
(posted at 2010.6.5)

ウサギと言えばフィボナッチ数列。
西暦55年はウサギ年かつフィボナッチ数。次に同じ条件を満たす年は、西暦5702887年。
年賀状でフィボナッチ数ネタを書けるのは570万年後か…。人類生きてるかな。
(posted at 2010.6.7)

久々に「複号同順」という言葉を使った。いつか「複号任意」という言葉を使ってみたいものだ。
(posted at 2010.6.9)

半角8字で作れる最大の数は何か。→infinity(8字)
(posted at 2010.6.21)

中１で「数式中の文字はアルファベット順」と習ったが、
大学数学ではギリシャ語やら虚数単位やらいろいろ出てくるので、最近はしょっちゅう文字の順番に困っている。
(posted at 2010.6.18)

2次元フーリエ変換のデモ動画 http://bit.ly/ao4Sme (@ktrst氏による情報)
(posted at 2010.6.14)

先生が「数学の入試問題を作るとき、制作者の頭の中にはリプシッツ連続および縮小写像の原理がある」とおっしゃってた
(posted at 2010.6.14)

ランダムウォーク、四字熟語で言うと「酔歩蹣跚」(すいほまんさん)。
「-2は偶数でも奇数でもない」と書いてる本もあれば、「-2は偶数」と書いている本もある。算数と数学の違いなのだろうか？
『数学ガール』では、ペアノの公理における最小元を「1」としていた。
(posted at 2010.5.25)

複素関数論における対数は無限多価。定義はlog z = log|z| + i arg z (arg z = θ+ 2ｋπ)。
(posted at 2010.5.23)

複素関数論の先生が「アンリ・シャルパンティエ」の紙袋をいつも持っているのだが、どう見ても紙袋のデザインが複素数全体の集合を表す記号にしか見えない。もしかして狙ってるのだろうか。
(posted at 2010.5.18)

「第一種の誤り」と「第二種の誤り」の別名は「あわてものの誤り」と「ぼんやりものの誤り」
(posted at 2010.5.14)

sinh(シャイン)、cosh(コシャイン)で、シャクシャインとコシャマインを思い出すという日本史病。
uniform distribution ×制服の配布 ○一様分布
(posted at 2010.5.12)

指数分布の無記憶性に基づく「蛍光灯の寿命のパラドックス」
使い古しの蛍光灯と新品の蛍光灯の寿命は同じ、というパラドックス。

「♪ポケットのなかにはビスケットがひとつ ポケットをたたくとビスケットはふたつ」って童謡があるけど、
ビスケットが割れて、数が増えただけ。
(posted at 2010.5.7)

先生「両辺に2を掛けまして、方程式を解く」　生徒達「その心は!!」　先生「えっ…」
(posted at 2010.5.6)

餃子の王将なう。OHSHOは点対称な回文。
(posted at 2010.5.5)

証明に詰まったら、数学ガールを思い出す。「例示は理解の試金石」。いい言葉だ。
特に、一般次元nを扱う大学数学において、2次元や3次元での例示は自らの理解の為に極めて重要。
(posted at 2010.5.1)

京大生の友人が「二次方程式の解の公式？覚えてないよ。平方完成で解けるから。」って言ってた。恐るべし。
(posted at 2010.4.11)

酒井教授が発明した「フラクタル日よけ」は、京都大学1共北側に設置されている。
フラクタルを使うことで「光は遮るが風はよく通す日よけ」を実現。
樹木の葉の分布がフラクタル分布であり、フラクタル日よけを通過した日光は木漏れ日のようになるので、
屋上緑化の代替品としての効果が期待できる。
京大総合博物館にあるシェルピンスキー四面体も素敵。http://p.tl/RbI1
(posted at 2010.4.16)

ハノイの塔=トンキンの塔=東京の塔=東京タワー
(posted at 2010.4.23)

大学に入って無限を自らの手中に収めることができた。ワイエルシュトラスに感謝。
(posted at 2010.4.25)

有名な「スパルタの棒」が元ネタですね。　#TRICK
(posted at 2010.4.25)

京阪から阪急への乗り換えを数式で表すと、k/2→q/2.
(posted at 2010.4.26)

ベクトルは１回転すると元に戻る。スピノルは２回転すると元に戻る。
「ウエイターのトリック」の実践に成功した！お盆を持ったまま手を内側に一回転させ、トレイを上の方に持っていき、さらに一回転させると、元に戻る！２回転のよじれは数学的にはよじれていない。
(posted at 2010.4.27)

結び目理論って、医学（DNA構造）、化学（分子構造）、宇宙物理学（宇宙の大規模構造）、
社会心理学（心のモデル）、など幅広い応用分野があるんだな。すごい。
ディラックの組み紐問題を見ていたら、64のコントローラのからまりを思い出した。
(posted at 2010.4.27)

バリバリの関西弁で書かれた数学の証明
「せやからxを無限大に飛ばしてしもたらf(x)は0に収束するっちゅーねん q.e.d.」
(posted at 2010.4.28)

A={2,3,5,7}のように要素を列挙するのが「外延的定義」
A={x|xは10以下の素数}のように要素の満たすべき条件を書くのが「内包的定義」
(posted at 2010.4.29)

i^i ←実数
(posted at 2010.2.28)

div、grad、rot　←何故かLaTeXが対応してない

正多角形

カラスは円と正二十四角形を見分けられる脳を持っている。
オーストラリアの50セント硬貨が正十二角形。イギリスの20ペンス硬貨と50ペンス硬貨が正七角形。
星型(五芒星)は、正2.5角形。いわゆる分数多角形。
(posted at 2010.6.7)

公式・定理などのメモ

ヘロンの公式(三角形の面積)→ブラーマグプタの公式(円に内接する四角形の面積)→ブレートシュナイダーの公式(四角形の面積)
(posted at 2010.5.16)

パップス＝ギュルダンの定理
(posted at 2010.5.14)

マンハッタン距離とユークリッド距離
(posted at 2010.5.11)

部分分数分解→ヘヴィサイドの方法が便利
(posted at 2010.5.1)

海外の小学校では「ピックの定理」を教えているらしい。中学入試では便利かも。
http://bit.ly/9z2LwJ http://bit.ly/crBRMN
(posted at 2010.5.1)

アトキンの篩…エラトステネスの篩より高速な素数判別アルゴリズム

• エラトステネスをエラストテネスと間違える人が多い。アリストテレスのせいだろうか。

(posted at 2010.4.4)

「カバリエリの原理」は、数Ⅰの教科書のコラムにちょっと載っていた程度だが、
使いようによっては、3次元の積分計算をかなり楽にすることができる。
一方、「ヘロンの公式」は実はあまり使い道がない。特に辺の長さの和が奇数だと悲惨。
「ヘロンの公式」こそコラムに行くべき公式なのに、何故か本文に出しゃばってきている。
(posted at 2010.2.15)

確率母関数、積率母関数、特性関数、ラプラス・スティルチェス変換・・・どれをいつ使うべきか悩むなあ
(posted at 2010.5.16)

概収束⇒確率収束⇒法則収束
(posted at 2010.5.15)

ハミルトンの四元数
(posted at 2010.6.22)

数理曲線

『日常にひそむ数理曲線』　http://bit.ly/cQHdL2 http://bit.ly/cmieZy

• リサージュ曲線　ブランコを横にもこぐと出現　(posted at 2010.5.11)
• 悪魔の曲線　(posted at 2010.5.11)

http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ac1.htmlによると、
「中央の曲線の形がディアボロ(diabolo)とよばれる空中ゴマの形状に似ていることに由来する」とのこと。
しかし、diabolo(空中ゴマ)とイタリア語のdiavolo(悪魔)は、よく似ているが実は別語源。
The term "diabolo" was not taken from the Italian word for "devil" — "diavolo"...　(Wikipedia)
ディアボロの語源は di bell(ベルが2つ)　(http://d-code.org/juggling/archives/2007/02/diabolodevil.html)

そもそも、欧州で近代的なディアボロが発明されたのは20C初頭で、
悪魔の曲線をクラーメルが研究したのは18世紀。時代が合わない。曲線名は後付けだろうか。

「悪魔の曲線」や「diabolo's curve」でGoogle検索しても全然出ないが、「devil's curve」でGoogle検索すると少し出る。

• ドラゴン曲線　Windows標準のペイントで描ける　http://members.jcom.home.ne.jp/natrom/dragon.html　(posted at 2010.4.13)

倍数判別法

• 2の倍数…下1桁が2で割り切れる。
• 3の倍数…各位の和が3で割り切れる。
• 4の倍数…下2桁が4で割り切れる。
• 5の倍数…下1桁が0か5。
• 6の倍数…2の倍数かつ3の倍数。
• 7の倍数…1の位から3桁ずつの群に分け、奇数番目の群の和と偶数番目の群の和との差が7で割り切れる。
• 8の倍数…下3桁が8で割り切れる。
• 9の倍数…各位の和が9で割り切れる。
• 10の倍数…下1桁が0。
• 11の倍数…奇数番目の数の和と偶数番目の数の和の差が11で割り切れる。

(posted at 2010.4.8)

数学用語今昔

解と根

高校数学では「解＝根」だが、大学数学では「解⊃根」。
一変数の方程式の場合、特に「根」と呼んでおり、昔はこれが主流だった。

• 重解は正しくは重根、解と係数の関係も正しくは根と係数の関係、解の公式も正しくは根の公式。
• 今は全て「解」に統一されてしまったが、「根号」や「平方根」に面影をとどめている。
• 「√」は「root」(根)の頭文字の図案化

教科書から消えてしまった「根」だが、今もしっかり根を張っているのであった。
(posted at 2010.4.24)

その他

「自乗」→「二乗」
「恒数」→「常数」→「定数」(じょうすう)→「定数」(ていすう)
「いっかにぶんのいち」→「いちとにぶんのいち」　(「か」＝「加」らしい)
(posted at 2010.5.7, 2011.4.11)

ベルトランのパラドックス

確率論における有名なパラドックスなので、詳細は割愛。
分かりやすいオリジナル版を紹介しておく。

任意に一辺がcm(0≦x≦10)の正方形を描くとき、
面積が25cm^2以下になる確率は？
A君「0≦x≦10のうち、0≦x≦5のときに 25cm^2以下になるから、5/10=1/2」
B君「面積は0≦x^2≦100をとりうるから、25cm^2以下になるのは、25/100=1/4」
(posted at 2010.3.18)

数学記号

確率論で出てくる「Π」をひっくり返した記号(「互いに独立」を表す記号)は何と読むのだろう。
「ターンパイ」かな？これは何に由来しているのだろうか。
(posted at 2010.5.18)

超階乗記号「$」　n$はn!をn!回累乗した数
ex.
$
とんだドル高だな。
(posted at 2010.5.18)

「括線」は分母と分子を結びつける横線で、英語ではvinculum(ラテン語で「絆」の意味)。
「√」の上にある横線も括線と言う。(正確には左端の「r」(rootの頭文字)の部分だけが「根号」)
(posted at 2010.6.5)

「∞」の由来はローマ数字1000(非常に大きい数)。 「ↀ」←これがローマ数字の1000
(posted at 2010.6.5)

summation(総和)の頭文字「Ｓ」に対応するギリシャ語が「Σ」なので、これをオイラーは総和記号にした。一方、ライプニッツは「Ｓ」を縦に伸ばして積分記号にした。
(posted at 2010.6.5)

「∽」を作ったのもライプニッツ。「similis」(相似)の頭文字を横にしただけ。
(posted at 2010.6.5)

階乗記号の由来は「びっくりするほど大きな数になるから」。因みに感嘆符の由来はラテン語の「Io」(喜びの感動詞)を縦に書いたもの。
(posted at 2010.6.21)

「⊥」

• 垂直(幾何学)
• 墓地(地図記号)
• 偽(記号論理学)
• 矛盾(記号論理学)

(posted at 2010.5.18)

偏微分記号「∂」の読み方

• ディー
• ラウンド
• デル
• パーシャル
• カーリー
• カーブド
• ラウンドディー
• ルンド

(posted at 2010.4.23)

冪乗記号「^」の読み方

• アクサンシルコンフレクス
• サーカムフレックス
• キャレット
• ハット
• アップアロー
• ハンドル
• 山高
• 乗
• へ

(posted at 2010.3.15)

語源

「象限」は「象限儀」(天体の高度測定に使っていた中心角90度の扇形の器具(四分儀))に由来。
「現象に区切りをつける」という意味がある。
(posted at 2010.6.11)

自然対数底(ネイピア数)「e」は、「Euler」の頭文字なのだろうか。それとも「exponential」の頭文字なのだろうか。
正弦関数sinの語源となったラテン語「sinus」は、「胸」「谷間」「入り江」という意味。
(posted at 2010.3.2)

「帰無仮説」は「Null hypothesis」の訳。しかし「帰無」は広辞苑にすら載ってない単語。どうりで親しみづらいわけだ。
(posted at 2010.5.14)

sinc関数は、ラテン語の「sinus cardinalis」(英語: cardinal sine)に由来する。直訳すると「基本正弦波」。
イギリスの数学者・Philip Woodwardが1953年に初めて導入した。
参照：『Probability and information theory, with applications to radar』(1953)
(posted at 2010.5.22)

デシリットル

1合≒2デシリットルであるため、ヘクタールやアールと同様、かつてはよく使われていた。
小学校で「デシリットル」が指導されるのは、そういった歴史的経緯によるものだろう。

• 血糖値の単位は「mg/dL」が現在も使われている
• 豆屋ではデシリットル単位で量り売りされている
• 「デシベル」(dB)のおかげで「デシ」は現役

難問奇問

大学入試数学史上最大の難問、98年東大後期　http://2r.ldblog.jp/archives/2927641.html
(posted at 2010.3.23)

塾で手間取った問題(中1数学)「サッカーボールの辺の数は何本か？」
(posted at 2010.2.24)

半径rのサッカーボール(切頂二十面体)の正六角形及び正五角形の一辺の長さを求めよ
(posted at 2010.6.19)

http://twitpic.com/1mwewe -大きな三角形は二等辺三角形。角θの大きさを求めよ
http://bit.ly/deb5KX 補助線の引き方の一例。三角形右下から20度の補助線を引くとよい。
(posted at 2010.5.11)

θだけ傾いて交わる2円柱の共通部分の体積を求めよ。
→積分を直接的に使わなくても求めることができた。
答え：
(posted at 2010.2.15)

140kgの食塩がある。2kgのおもりと7kgのおもり1個ずつと上皿天秤を使って、50kgと90kgに分けなさい。
但し、天秤の使用回数は3回までとする。
(posted at 2010.6.18)

8,1,1,5の4つの数字の間に四則演算を入れて、答えが10になるようにせよ。(括弧を用いてよい)
(posted at 2010.6.21)

解答可能な数独は、少なくとも何マス埋まっている必要があるか。
(posted at 2010.6.23)

数学用語をちょっとかっこよく言う方法

ベクトル→ヴェクタ
(posted at 2010.2.25)

添え字→サフィックス
シグマ(総和記号)→サメーション
(posted at 2010.4.23)

職業病

バウムクーヘンを見ると真っ先に積分を思いうかべる職業病。
(posted at 2010.2.9)

Limited Exp.(特急)が指数関数の極限に見える職業病
(posted at 2010.2.4)

数学史

ダイクストラ法(Dijkstra)の中にもJKはいます。オランダ語ではよくあること。
(posted at 2010.5.23)

整数論において合同記号「≡」を最初に用いたのはガウス(1801年)。
幾何学において合同記号「≡」を最初に用いたのはモルワイデ(1824年)。モルワイデはモルワイデ図法の人。
(posted at 2010.5.22)

教授「ポアソン過程は魚ではないですからね(笑)」→どうやら魚料理(フランス語でPoisson)のことらしい
ポアソンは漁師や魚屋に因む職業姓なのかな？
(posted at 2010.5.22)

ネイピア数で有名なネイピアだが、実は対数以外にも活躍している。
小数点の発案者もコンピュータの原型を作ったのも、ネイピア。
ネイピアの骨(ネイピア)→歯車式計算機(シッカート)→コンピュータ
(posted at 2010.4.7)

ロゼッタストーンをフランスに持って帰ったのはシャンポリオンではなく、フーリエ。考古学も嗜んでたとは驚きだ。
(posted at 2010.2.6)
ロゼッタストーンについて調べていたら、有名なシャンポリオンの他に、フーリエ(ロゼッタストーン発見者)やヤング(ヒエログリフ研究者)といった数学・物理学者が出てきて驚いた。
(posted at 2010.5.2)

アーベルやガロアの重要な論文を紛失した無責任な審査員、それがコーシー。
コーシーのハゲ方がすごい。上半平面だけフサフサ。
(posted at 2010.2.4)

デカルトは朝が苦手で、部屋を飛び回っているハエをベッドの中からぼーっと眺めていた。
「あのハエの位置を表すにはどうすればよいだろう…」
こうして、彼は『デカルト座標系』を考案したという。
もしデカルトが朝に強かったら、きっと解析幾何学は発展していなかったことだろう。
(posted at 2010.5.1)

ギリシャ文字

ξは上から書く。四分休符は下から書く。
(posted at 2010.2.3)

ギリシャ文字「ι」はもっと頑張るべき
(posted at 2010.4.24)

高校以来ずっと２画でθを書いていたけど、去年の後期に必死でトレーニングして、１画でθを書けるようになった。今は、山形のiから逆インテグラル型のiに矯正中。慣れないとなかなか難しい・・・。
(posted at 2010.4.23)

恒等写像ι(x)やウプシロン中間子ぐらいでしかお目にかかれない気が RT @Wolfram184: 理系だがギリシャ文字のうちι（イオタ）とυ（ユプシロン）にはいまだにお目にかかったことがない。いつ使うんだろ。
(posted at 2010.5.25)

書籍メモ

『微かに分かる微分積分』(小松健三)
微分ができない女子大生2人が、お寺に駆け込み、数学の修行をすることになった。
乳豚(にゅうとん)上人が書いたと伝えられる「微分経」というお経を和尚が説く、対話形式での微分積分入門。
(posted at 2010.5.4)

『楽しい数理実験』
幾何学が多い印象。日本地図を用いたボロノイ分割や、シャボン液を用いたトポロジーなど、なかなか面白い。
数理系の大学生向け。ちなみに作者は『力学Ⅰ、Ⅱ』(裳華房)を書いた高木先生。
(posted at 2010.4.23)

黄金比

円を中心角が222度になるように切ると、2つの扇形の面積比は黄金比になるらしい。
(posted at 2010.2.23)

Newton6月号読んでるなう。黄金比特集が組まれてる!　メモ:ペンローズのタイル、サム・ロイドのパラドックス、黄金角。
(posted at 2010.5.6)